Description:


L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input:


第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output:


  仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input:


Sample Output:


HINT:


对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解:


可以看出这是一道DP题。
\(W[i]\) 表示把 \(i\) 之前的左右货物集中到 \(i\) 的花费。
\(dp[i]\) 表示在 \(i\) 建仓库并且 \(i\) 之前的货物都处理完毕的最小花费。
答案就是 \(dp[n]\)
递推式也比较简单:(其中 \(S[i]\) 表示 \(P[i]\) 的前缀和)
\(W[i] = W[i-1] + S[i-1]\times (X[i]-X[i-1])\)
\(dp[i] = max_{j=0}^{i-1}(dp[j]+W[i]-W[j]-S[j]\times(X[i]-X[j])+C[i])\)
然后 \(dp[i]\) 的转移方程可以斜率优化。
\(j\lt k \lt i\) ,且 \(k\) 优于 \(j\) ,那么 \(\frac{dp[k]-dp[j]-W[k]+W[j]+S[k]*X[k]-S[j]*X[j]}{S[k]-S[j]} \lt X[i]\)
然后就很简单了。