转自BroDrinkwater


网络流

最近在学习二分图匹配,网络流和博弈论(%eazy,miaomiao,lsr_dalao,zyh,zlt),感谢诸位牛犇给蒟蒻的讲课,让我受益匪浅,PPT就不放上来了,有版权问题,下面我给大家谈谈我近期学习网络流的心得。(因为前几天感冒落了些进度,感谢ergeda和脑屁股的细心辅导)。微笑吐舌头

一:what is 网络流???

根据lsr_dalao的ppt上所言:
定义:
图论中的一种理论与方法,研究网络上的一类最优化问题 。
很多系统中涉及流量问题,例如公路系统中车流量,网络中的数据信息流,供油管道的油流量等。我们可以将有向图进一步理解为“流网络”(flow network),并利用这样的抽象模型求解有关流量的问题。
显然我是有点没看懂的,那我就用人类听得懂的话来讲讲吧。比如我们有一个交通网络如下图样例:

有点丑,不过忍受一下就好。QAQ。我们假设1点是长沙,5点是北京,2,3,4分别是武汉,郑州,石家庄,假设我们是坐火车北上,长沙到武汉的火车上只能坐两个人(以此类推),中途不换程,不下车,从长沙出发的雅礼同学们只有多少能到北京呢?很显然,是4个人。
如下图:

蓝色的数字代表火车上最多有几个人,为什么1->3是0?因为我们要求的是最大的人数,嗯,就是这样。

二:介绍下网络流最大流的方法及代码

依旧先引用lsr_dalao的ppt中话

1.简介

求解网络流的基本思想就是每次寻找增广路(就是源点到汇点的一条可行路)然后ans+=增广路能流过的流量,更新剩余网络,然后再做增广路,直到做不出增广路。关于网络流入门最难理解的地方就是剩余网络了....为什么在找到一条增广路后...不仅要将每条边的可行流量减去增广路能流过的流量...还要将每条边的反向弧加上增广路能流过的流量.?..原因是在做增广路时可能会阻塞后面的增广路...或者说做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的.....但我们是任意找的...为了修正...就每次将流量加在了反向弧上...让后面的流能够进行自我调整...剩余网络的更新(就在原图上更新就可以了)(what?speak earth language!)反正我是没看懂的……..若有大神围观勿喷。
接下来蒟蒻给你们讲讲网络流最大流最简单也是最慢的一种EK算法:
我们设刚刚那个啥交通网络为图G,这个图是个有向图,不然做不了,记住这句话,后面有题目。定义c函数为管道容量大小,就是火车上最多坐多少个人,f函数为管道的流量,就是火车身上现在做了几个人。
显然c函数要大于等于f函数的大小(不多说,水流多了管子会爆,其次,这是中国,不是印度,还是不能坐火车顶上的)。这是图G的三个性质之一:容量限制,然后有个反对称性,就是流过去的f = 流回来的-f,现在不懂没事,一会讲反向边的时候细讲,第三个就是流守恒性,就是从源点出发的总流量等于到汇点的总流量,就是从长沙出发的雅礼大佬们不能在火车上失踪了。
明白了这些,我现在来讲网络流中最难理解东西:反向边
来个经典的图:

还是很丑,嗯,有向图吧,不多说了,初始是0号节点流向一号节点和四号节点(未画出)1->2->5->6->7流量都是10,我们假设这条路径上都是满流,就是c = f 就是不能再流其他的流了,然后我们设定其他边上也是c = 10,4->5也有5的流量,如果按照EK算法中的bfs来说,为了找到一个最大流,2->3这条边都不会走,可能一开始找瓶颈把4,5入队,但是后面不断调整流量时,流量回被调成10,毕竟程序是为了寻找最大流,所以说如果不把流过的边加上一个反向边4->5这个流量都不会被加入增广路,可能你还是没怎么理解,我先来介绍下残量网络,这样你会理解的更深。

红色的数字代表回流的量,2->3那条边我先暂时不标,在残留网络的中如果f\<c那么就给它连一条回去的边,先别问我为什么,慢慢来。连回去的边大小为增广路上流量的大小,原来的边为c-f,流量为0的边不在残量网络中出现。
现在我们再来讲讲反相边到底是用来干嘛的,你看,如果给2->5加一条反相边,是不是4可以通过反相边到达汇点7,而原来的图是不行的因为5,6这条边已经满流,所以说,如果不加反相边,会有一条路都找不到,那不就很尴尬了,^_^。
换句话说,加条反相边那就是给程序一个反悔的机会,现实中,反相边是不存在的,只是在程序中出现,实际上,这就相当于4->5的流量转给2->3,第一条路变成1,2,3,7,第二条路变成4,5,6,7,所以,是不是更好理解了呢?
接下来,我来讲讲EK的代码。

嗯,EK,还是很简单的,接下来我们讲讲dinic。
dinik是啥捏,就是比EK快的算法,跟二分图匹配里的hk算法很像。dinic用到了一个深度标号,是bfs求得的,根据bfs的性质,标号大小是按距离远近严格递增的,搜索树中同一层的为同一标号,如图,蓝色数字为深度标号:

很形象是吧,bfs都不会的话,那还是先别碰网络流,然后我们按照深度标号严格递增或递减(看是从源点还是汇点出发)用dfs搜索,然后就好了。那为什么?因为之前讲反向边的时候我将讲过,实际上1到5的路径中,我们现实中肉眼观察只有1,2,5,和1,3,5这两条边中间的边是不会流的,因为时加入的反向边,时间上不存在,如是我们就可以按照标号严格递增或递减来进行搜素,然后松弛即可。

三:费用流

这里只讲最小费用流,只是讲EK中的bfs换成了spfa,因为网络中的每条边有了个费用。

一个模板,提供借鉴。
今后几天我会发几篇网络流好题的blog,希望大家看了有所收获。


接下来我来补充一下我常用的网络流算法isap。

大概就长这样: